为了解决的问题：
假设某个时刻相机的位姿是T，它观察到一个在世界坐标系中的一个空间点p，并在相机上产生了一个观测数据z，那么
z = Tp + noise
noise是观测噪声。那么观测误差就是
e = z - Tp
假设我们总共有N个这样的三维点p和观测值z，那么我们的目标就是寻找一个最佳的位姿T，使得整体误差最小化，也就是
求解此问题，也就是求目标函数J对于变换矩阵T的导数，而T所在的的SE(3)空间，对加法计算并不封闭，也就是说任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭造成的，它是有如下约束：
李代数就是解决旋转矩阵对加法不封闭的问题。我们把大写SE(3)空间的T映射为一种叫做李代数的东西，映射后的李代数我们叫做小se(3)好了。它是由向量组成的，我们知道向量是对加法封闭的。这样我们就可以通过对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了。
我们SLAM目的就是优化求解相机的这个最佳的位姿T（变换矩阵），优化方法一般都采用迭代优化的方法，每次迭代都更新一个位姿的增量delta，使得目标函数最小。这个delta就是通过误差函数对T微分得到的。也就是说我们需要对变换矩阵T求微分（导数），
李群
群（group）就是一种集合加上一种运算的代数结构，满足封闭性，结合律，幺元（单位矩阵I）和逆。李群的定义是指连续光滑的群，比如我们前面说的旋转矩阵群SO(3)，你想象你拿个杯子就可以在空间中以某个支点连续的旋转它，所以SO(3)它就是李群。如果你一般旋转一边移动它，也是连续的或者说光滑的运动，所以变换矩阵群SE(3)也是李群。
李代数
李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数。
对于某个时刻的R(t)（李群空间），存在一个三维向量φ=（φ1，φ2，φ3）（李代数空间），用来描述R在t时刻的局部的导数。
我们发现旋转矩阵的微分是一个反对称(也叫斜对称)矩阵左乘它本身，反对称矩阵其实是将三维向量和三维矩阵建立对应关系。它是这样定义的：如果一个3 X 3的矩阵A满足如下式子,也就是说反对称矩阵对角线元素都为0。
对于反对称矩阵A，只有三个自由度:
则定义一个三维向量$a=\left[ a_{1}\; ,\; a_{2}\; ,\; a_{3}\; \right]^{T}$，则可以用一个上三角符号来定义如下对应关系：
这样就可以顺利理解
指数映射关系
李代数小so(3)是三维向量φ的集合，每个向量φi的反对称矩阵都可以表达李群(大SO(3))上旋转矩阵R的导数，而R和φ是一个指数映射关系。我们的目的就是用对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了，也就是说，李群空间的任意一个旋转矩阵R都可以用李代数空间的一个向量的反对称矩阵指数来近似。
我们最终得到下面式子，它的前提是R在原点附近的一阶泰勒展开，我们看到这个向量φ=（φ1，φ2，φ3）反应了R的导数性质，故称它在SO(3)上的原点 φ0 附近的正切空间上。这个φ正是李群大SO(3)对应的李代数小so(3)。
经过对指数e的泰勒展开，以及反对称矩阵的性质，我们可以得到如下结果：
其中：三维向量 φ = θa，a是一个长度为1的方向向量，其实有点像罗德里格斯公式 ，罗德里格斯公式（Rodriguez formula）是计算机视觉中的一大经典公式，在描述相机位姿的过程中很常用，表示从旋转向量到旋转矩阵的转换过程，公式如下
其中：$k=\left[ k_{x}\; k_{y}\; k_{z} \right]^{T}$是旋转轴（两个自由度），theta是旋转角度（一个自由度）；
综上所述，我们得到如下映射关系
李代数求导分两种：一种是用李代数表示位姿，然后根据李代数加法来对李代数求导，但结果中有复杂的雅克比公式，不是很方便。一般都用第二种，就是对李群进行左乘或者右乘微小的扰动，然后对该扰动求导。